Corrigé de l'exercice 4 de maths du bac ES de juin 2012 en métropole
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Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend x centaines d'objets (pour x compris entre 0 et 6) est donné par
sur l'intervalle 
.
Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »
L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal. Il décide donc d'étudier la fonction sur l'intervalle .
On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle . On désigne par 
la fonction dérivée de la fonction .
1. Etablir que, pour tout nombre réel 
de l'intervalle ,
On a 
avec :
(ne pas oublier le 
, qui provient de la dérivée de la composée).
avec :
(ne pas oublier le , qui provient de la dérivée de la composée).
2. Dresser le tableau de variation de la fonction
sur l'intervalle .
Pour tout 
, 
, donc le signe de 
est le même que celui du binôme du premier degré 
.
Ce binôme s'annule pour 
et on a le tableau de variations :
3. En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro).
, , donc le signe de est le même que celui du binôme du premier degré .
Ce binôme s'annule pour et on a le tableau de variations :
Par observation du tableau de variations précédent, on peut dire que le bénéfice maximal est obtenu pour 
centaines soit 250 objets vendus.
Le bénéfice obtenus en milliers d'euros est alors :
Donc le bénéfice est d'environ 16 039 euros.
4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction centaines soit 250 objets vendus.
Le bénéfice obtenus en milliers d'euros est alors :
Donc le bénéfice est d'environ 16 039 euros.
.
xmin=0 xmax=6 ymin=0 ymax=17
Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »
1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?
Par lecture graphique on estime que l'entreprise réalise un bénéfice positif à partir d'un peu plus d'une centaine d'objets vendus.
2. Démontrer que sur l'intervalle 
l'équation 
admet une unique solution notée 
.
La fonction est strictement croissante et continue sur l'intervalle 
et de plus on a :
et 
, donc 
et 
et d'après le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation 
admet une unique solution
dans l'intervalle .
3. Donner une valeur approchée de est strictement croissante et continue sur l'intervalle et de plus on a :
et , donc et et d'après le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation admet une unique solution
dans l'intervalle .
à 
près.
En utilisant la calculette on trouve 
.
4. Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.
.
D'après ce qui précède on peut dire que l'entreprise ne vend pas à perte à partir de 110 objets (la valeur de seuil est telle que 
).
est telle que ).
