Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2013 au Liban
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Partie A
On considère la fonction![](/image/im001041.png)
![](/image/im005164.png)
![](/image/im005165.png)
1. On désigne par
![](/image/im005166.png)
![](/image/im001041.png)
![](/image/im005167.png)
On peut écrire
avec :
;
;
Donc
![](/image/im005168.png)
![](/image/im005169.png)
![](/image/im005170.png)
![](/image/im001320.png)
![](/image/im001321.png)
![](/image/im005171.png)
2. On considère la fonction
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005164.png)
![](/image/im005172.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005164.png)
On étudie les variations de
en calculant la dérivée de la fonction
:
Pour tout
;
et
donc
ce qui entraîne que
est strictement croissante sur l'intervalle considéré et on a le tableau de variations :
b. Montrer que l'équation ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005173.png)
![](/image/im005174.png)
![](/image/im000827.png)
![](/image/im005175.png)
![](/image/im002719.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005176.png)
![](/image/im005177.png)
![](/image/im005178.png)
![](/image/im002827.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im005164.png)
La fonction
est continue et strictement croissante sur
avec :
et
, donc d'après
le théorème de la valeur intermédiaire l'équation
admet une unique solution
dans
.
c. Donner un encadrement à l'unité de ![](/image/im000063.png)
![](/image/im005164.png)
![](/image/im005179.png)
![](/image/im005180.png)
![](/image/im002830.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im005164.png)
![](/image/im000198.png)
En utilisant la calculette on trouve :
d. En déduire le tableau de signes de ![](/image/im005181.png)
![](/image/im000178.png)
![](/image/im005164.png)
D'après ce qui précède on obtient facilement le tableau de signes :
3. En déduire le tableau de variations de ![](/image/im005182.png)
![](/image/im001041.png)
![](/image/im005164.png)
On remarque que pour tout
,
; donc le signe de
est le même que celui de
et on a le tableau de variations :
Pour
on est bien embêté car on a seulement l'encadrement
, mais en calculant
et
on remarque que
, donc on peut prendre
.
4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
a. ![](/image/im005174.png)
![](/image/im005183.png)
![](/image/im005184.png)
![](/image/im000178.png)
![](/image/im005185.png)
![](/image/im005186.png)
![](/image/im005187.png)
![](/image/im005188.png)
![](/image/im005181.png)
![](/image/im005189.png)
![](/image/im005190.png)
![](/image/im005191.png)
![](/image/im005192.png)
![](/image/im005193.png)
![](/image/im005194.png)
Par lecture du tableau de variations précédent :
-
posséde deux solutions : une dans
et l'autre dans
;
-
posséde une seule solution dans
.
Partie B
Une entreprise fabrique chaque mois![](/image/im000153.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im005164.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im001041.png)
D'après l'étude précédente sur
le minimum de la fonction
est obtenu en
, donc il faut produire 25 ou 26 vélos.
Pour trancher entre les deux possibilités on compare
et
:
et
Donc pour avoir le coût moyen minimum l'entreprise doit fabriquer 26 vélos.
![](/image/im005164.png)
![](/image/im001041.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im005189.png)
![](/image/im005190.png)
![](/image/im005199.png)
![](/image/im005200.png)