Bac de maths

Corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de mai 2012 au Liban

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Partie 1 : Etude d'une fonction

On considère la fonction définie sur par .
1. En écrivant que , déterminer la limite de en .
et donc par produit .
Par soustraction de 8, on obtient .

 

 

2. Montrer que désigne la fonction dérivée de sur .
Pour tout , avec :
Donc

 

 

3. Dresser le tableau de variations complet de de sur .
Pour , et , donc et ne s'annule que pour .
On a alors le tableau de variations :
4.a. Montrer que l'équation admet sur une unique solution .
La fonction est définie, continue et strictement croissante sur avec :
comme , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution .
b. Montrer que .
En utilisant la calculette :
on a donc et , ce qui entraîne que .
c. En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de en fonction des valeurs de sur .
On a directement le tableau de signes :
5.a. Montrer que la fonction définie sur par est une primitive de sur .
On calcule la dérivée de la fonction :
Donc est bien une primitive de sur .
b. Calculer la valeur exacte de .

Partie 2 : Application à une situation économique

Une entreprise fabrique milliers d'objets avec appartenant à .
La fonction de la 1 partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine d'euros.
Pour une quantité donnée, si est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si est négatif, l'entreprise subit une perte.
En utilisant les résultats de la 1 partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :
1. A partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
On a vu que pour et que , donc l'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir de 2041 objets.
2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur (on donnera le résultat arrondi à l'euro près).
La valeur moyenne du bénéfice sur correspond à la valeur moyenne de la fonction sur soit :
.
Donc la valeur moyenne du bénéfice est d'environ 20458 euros.

 

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