Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2014 dans les centres étrangers
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Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves.
D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30 % de l'effectif et l'arrivée de 300 nouveaux élèves.
On modélise cette situation par une suite numérique où représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année , avec entier naturel.
On a donc .
1.a. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.
b. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.
En 2014 :
En 2015 :
2. Justifier que, pour tout entier naturel , on a :
Pour le passage de l'année à l'année :
il y a une perte de 30 % des élèves, donc il en reste 70 %, soit
il y a 300 élèves en plus, donc
Finalement .
3. On souhaite, pour un entier donné, afficher tous les termes de la suite du rang 0 au rang .
Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ?
Justifier.
Algorithme 1 :
| Variables : |
| , entiers naturels |
| nombre réel |
| Début algorithme |
| Lire |
| prend la valeur 500 |
| Pour allant de 1 à |
| Afficher |
| prend la valeur |
| Fin Pour |
| Fin algorithme |
Algorithme 2 :
| Variables : |
| , entiers naturels |
| nombre réel |
| Début algorithme |
| Lire |
| prend la valeur 500 |
| Pour allant de 1 à |
| Afficher |
| prend la valeur |
| Fin Pour |
| Afficher |
| Fin algorithme |
Algorithme 3 :
| Variables : |
| , entiers naturels |
| nombre réel |
| Début algorithme |
| Lire |
| prend la valeur 500 |
| Pour allant de 1 à |
| prend la valeur |
| Fin Pour |
| Afficher |
| Fin algorithme |
L'algorithme 1, affiche les termes de à ; le dernier terme n'est pas affiché.
L'algorithme 2, affiche les termes de à et le dernier terme est affiché grâce à l'instruction « Afficher » qui figure après la fin de la boucle.
L'algorithme 3, n'affiche que .
Donc le bon algorithme est l'algorithme 2.
4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
Pour tout entier naturel on a :
Cela montre que la suite est une suite géométrique de raison .
b. En déduire que, pour tout entier naturel , .
La suite géométrique est de premier terme :
.
La formule explicite est : .
Comme on a et du coup :
c. Déterminer la limite de la suite .
Comme , .
Par somme : .
d. Interpréter le résultat précédent.
Au fil des années le nombre des élèves va tendre et se stabiliser vers 1000.
5.a. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation .
On a
Donc dans l'ensemble des entiers naturels : .
b. Interpréter le résultat trouvé précédemment.
La première année pour laquelle le nombre d'élèves dépasse 990 est l'année de rang 11, soit 2024.
