Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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On considère la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im005591.png)
![](/image/im005592.png)
On appelle
![](/image/im000836.png)
![](/image/im005593.png)
![](/image/im005594.png)
La fonction proposée est dérivable sur
et se présente sous la forme
avec :
;
;
Donc :
![](/image/im005593.png)
![](/image/im003998.png)
![](/image/im005595.png)
![](/image/im005596.png)
![](/image/im002570.png)
![](/image/im002571.png)
![](/image/im005597.png)
2.a. Etudier le signe de
![](/image/im001118.png)
![](/image/im005591.png)
Pour tout
,
, donc le signe de
est le même que celui
de
.
Le binome
s'annule pour
et comme le coefficient
de
est négatif il est positif pour
et négatif pour
.
b. En déduire le tableau de variations de ![](/image/im005598.png)
![](/image/im005599.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im005600.png)
![](/image/im005600.png)
![](/image/im005601.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im005602.png)
![](/image/im005603.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005591.png)
![](/image/im005604.png)
![](/image/im005605.png)
![](/image/im005606.png)
![](/image/im005607.png)
![](/image/im005608.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005591.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im005591.png)
![](/image/im005609.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005610.png)
Pour tout
,
, donc le signe de
est le même que celui
de
.
C'est encore un binôme du premier degré, qui cette fois s'annule pour
.
On a donc le signe de
:
Pour tout
,
, donc
est convexe sur cet intervalle.
b. Montrer que le point de ![](/image/im005598.png)
![](/image/im005611.png)
![](/image/im005327.png)
![](/image/im005612.png)
![](/image/im005613.png)
![](/image/im005327.png)
![](/image/im005614.png)
![](/image/im005615.png)
![](/image/im005616.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im005617.png)
D'après l'étude de signe précédente
s'annule en changeant de signe en
, donc
la courbe
a un point d'inflexion au point d'abscisse 4,8.
4. On considère la fonction ![](/image/im005608.png)
![](/image/im005617.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im005593.png)
![](/image/im005618.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005593.png)
La fonction
proposée est dérivable sur
et on a :
Cela prouve que
est une primitive de
sur l'intervalle considéré.
b. Calculer ![](/image/im000181.png)
![](/image/im005593.png)
![](/image/im005619.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im005620.png)
![](/image/im005621.png)