Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2012 en Asie
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On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité![](/image/im000307.png)
- le coût marginal
est la variation du coût obtenue par la production et la vente d'une tonne supplémentaire de détergent sachant qu'on en a déjà vendu une quantité de
tonnes.
- le bénéfice marginal
est la différence entre le prix unitaire et le coût marginal
.
Partie A : Aspect graphique
Dans le repère suivant, on donne :- la courbe représentative
de la fonction
correspondant au coût marginal en milliers d'euros ;
- la courbe représentative
de la fonction
correspondant au prix de vente unitaire en milliers d'euros ;
- le point A
, sommet de la courbe
.
![](/image/im004467.png)
![](/image/im004468.png)
![](/image/im004469.png)
2. Déterminer graphiquement
![](/image/im004470.png)
![](/image/im004471.png)
![](/image/im001826.png)
![](/image/im003925.png)
![](/image/im004472.png)
On regarde les abscisses des points d'intersection de
et
.
On en déduit que le bénéfice marginal est nul pour environ 1 tonne et pour environ 15,5 tonnes.
4. En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.
![](/image/im004464.png)
![](/image/im003925.png)
Le bénéfice marginal est positif lorsque sur le graphique
est située au dessus de
soit pour une quantité
telle que :
![](/image/im004473.png)
![](/image/im003925.png)
![](/image/im004464.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im004473.png)
Partie B : Aspect algébrique
Dans cette partie, le coût marginal est donné par![](/image/im004474.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im004475.png)
![](/image/im004476.png)
![](/image/im000307.png)
![](/image/im004475.png)
![](/image/im004465.png)
![](/image/im004477.png)
![](/image/im004465.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im004478.png)
![](/image/im004479.png)
![](/image/im004480.png)
![](/image/im004481.png)
Comme
, sur l'intervalle
la fonction
est continue et strictement croissante avec :
Donc
et d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique
tel que
.
b. A l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de ![](/image/im004482.png)
![](/image/im004483.png)
![](/image/im004465.png)
![](/image/im004484.png)
![](/image/im004485.png)
![](/image/im004486.png)
![](/image/im004487.png)
![](/image/im004488.png)
![](/image/im004480.png)
Par balayage on trouve
.
c. Donner, en justifiant, la valeur de ![](/image/im004489.png)
![](/image/im004490.png)
![](/image/im004491.png)
![](/image/im004489.png)
![](/image/im001041.png)
![](/image/im004477.png)
![](/image/im004492.png)
![](/image/im004465.png)
![](/image/im001041.png)
On dérive la fonction
:
avec :
;
;
(on n'oublie pas le
en facteur en dérivant la composée).
Donc
est bien une primitive de
.
3. Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.
![](/image/im001041.png)
![](/image/im004493.png)
![](/image/im004494.png)
![](/image/im004495.png)
![](/image/im004496.png)
![](/image/im004497.png)
![](/image/im004498.png)
![](/image/im004499.png)
![](/image/im001041.png)
![](/image/im004465.png)
Le bénéfice total est donné par :
avec
Donc
, c'est à dire environ 34950 €.
![](/image/im004500.png)
![](/image/im004501.png)
![](/image/im004502.png)