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Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2012 en Asie

On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :
  • le coût marginal est la variation du coût obtenue par la production et la vente d'une tonne supplémentaire de détergent sachant qu'on en a déjà vendu une quantité de tonnes.
  • le bénéfice marginal est la différence entre le prix unitaire et le coût marginal .

 

 

Partie A : Aspect graphique

Dans le repère suivant, on donne :
  • la courbe représentative de la fonction correspondant au coût marginal en milliers d'euros ;
  • la courbe représentative de la fonction correspondant au prix de vente unitaire en milliers d'euros ;
  • le point A, sommet de la courbe .
Répondre aux questions suivantes sans justifier :
1. Déterminer graphiquement .
.
2. Déterminer graphiquement .
Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.
est la fonction constante égale à 7 représentée par la droite , donc on a :
3. Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
(les valeurs seront données à la demi-tonne près).
On regarde les abscisses des points d'intersection de et .
On en déduit que le bénéfice marginal est nul pour environ 1 tonne et pour environ 15,5 tonnes.
4. En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.
Le bénéfice marginal est positif lorsque sur le graphique est située au dessus de soit pour une quantité telle que :

Partie B : Aspect algébrique

Dans cette partie, le coût marginal est donné par pour appartenant à l'intervalle et le prix de vente unitaire est donné par pour appartenant à l'intervalle . On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle .
Le tableau de variation de la fonction est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel est compris entre 5 et 6.
1.a. Justifier que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
Comme , sur l'intervalle la fonction est continue et strictement croissante avec :
Donc et d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique tel que .
b. A l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de au dixième.
Par balayage on trouve .
c. Donner, en justifiant, la valeur de .
Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?
.
Dans la question 3 de la partie A, on avait évalué un bénéfice marginal nul pour 15,5 tonnes produites, donc la valeur est cohérente.
2. Vérifier que la fonction , définie sur l'intervalle par :
est une primitive de la fonction . Cette fonction est la fonction coût total.
On dérive la fonction :
avec :
;
; (on n'oublie pas le en facteur en dérivant la composée).
Donc est bien une primitive de .
3. Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.
Le bénéfice total est donné par :
avec
Donc , c'est à dire environ 34950 €.

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