Corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de juin 2012 aux Antilles
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Un restaurant propose une formule « entrée + plat » pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2). Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat. On a constaté que : 30 % des clients choisissent l'entrée 1, 24 % choisissent l'entrée 2 et les autres clients choisissent l'entrée 3. Par ailleurs, le plat 1 est choisi par : 72 % des clients ayant opté pour l'entrée 1, 58 % des clients ayant opté pour l'entrée 2 et 29 % des clients ayant opté pour l'entrée 3. On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule « entrée + plat ». On note :- E
l'évènement : « Le client choisit l'entrée 1 » ;
- E
l'évènement : « Le client choisit l'entrée 2 » ;
- E
l'évènement : « Le client choisit l'entrée 3 » ;
- P
l'évènement : « Le client choisit le plat 1 » ;
- P
l'évènement : « Le client choisit le plat 2 ».
1. Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé.
![](/image/im004338.png)
2. Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée 3 et le plat 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ?
On calculer
en utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre :
3. Montrer que la probabilité de l'évènement P![](/image/im004339.png)
![](/image/im004340.png)
![](/image/im002270.png)
Les événements E
, E
et E
forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales on a :
4. Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée 1 sachant qu'il a pris le plat 1 (on arrondira le résultat à ![](/image/im002270.png)
![](/image/im002609.png)
![](/image/im002610.png)
![](/image/im004348.png)
![](/image/im001226.png)
On calcule
avec la formule :
5. On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ;
on suppose le nombre de clients suffisament grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.
Dans cette question, on arrondira les résultats au millième.
a. Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat 1.
![](/image/im004342.png)
![](/image/im004343.png)
On considère l'expérience de Bernoulli associée à la situation dont la loi est donnée par :
On répète cette expérience 3 fois de suite et de manière indépendante. La variable aléatoire
qui
compte le nombre de clients qui ont choisit le plat 1 suit une loi binomiale
.
b. Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat 1.
![](/image/im004344.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im004345.png)
![](/image/im004346.png)
Il s'agit de calculer :
![](/image/im004347.png)