Bac de maths

Corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2012 en Amérique du nord

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Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle .
On nomme A le point de d'abscisse et B le point de d'abscisse 0.

 

 

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.
1.a. Donner la valeur de .
Au point A d'abscisse , la tangente est horizontale donc .
b. Déterminer le signe de .
La fonction est strictement croissante sur l'intervalle , donc pour tout , est négatif et en particulier est négatif.
c. Interpréter graphiquement , puis donner sa valeur.
est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de au point d'abscisse 0. Or on sait que l'équation de cette tangente est , donc ( est le coefficient en facteur de dans l'équation de la tangente, c'est le coefficient directeur de la droite en question).

 

 

2. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale exprimée en unité d'aire.
représente l'aire délimitée par la courbe de , les droites d'équation , et l'axe des abscisses. Par observation du graphique on a : .

Partie B

La fonction de la Partie A a pour expression .
1. Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A de la courbe .
Le point A est d'abscisse , donc l'ordonnée de est :
.
2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .
Pour déterminer le sens de variation de on détermine la fonction dérivée.
Pour tout , on a :
avec :
; et ;
Donc
On sait que pour tout , , donc le signe de est le même que celui de et on en déduit le tableau de variation de :
3. Montrer que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de .
Pour vérifier que est une primitive de , on dérive :
avec :
; et ;
Donc
Cela prouve que est une primitive de .
4.a. Calculer la valeur exacte de l'intégrale .
On sait d'après le cours que :
b. Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2) de la partie A.
On a avec , donc le résultat est cohérent.

 

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