Corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2012 en Amérique du nord
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Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé![](/image/im001701.png)
![](/image/im002388.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003960.png)
![](/image/im002388.png)
![](/image/im000166.png)
![](/image/im002388.png)
- La fonction
est strictement croissante sur l'intervalle
et strictement décroissante sur l'intervalle
.
- La tangente à
au point A est horizontale.
- La droite
est la tangente à
au point B et a pour équation
.
![](/image/im003965.png)
![](/image/im003966.png)
Au point A d'abscisse
, la tangente est horizontale donc
.
b. Déterminer le signe de ![](/image/im000166.png)
![](/image/im003967.png)
![](/image/im003968.png)
La fonction
est strictement croissante sur l'intervalle
, donc pour tout
,
est négatif
et en particulier
est négatif.
c. Interpréter graphiquement ![](/image/im000063.png)
![](/image/im003969.png)
![](/image/im003970.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im003968.png)
![](/image/im003971.png)
![](/image/im003971.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003964.png)
![](/image/im003972.png)
![](/image/im000166.png)
![](/image/im000153.png)
2. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale
![](/image/im003973.png)
![](/image/im003974.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003043.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im003975.png)
Partie B
La fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im003976.png)
![](/image/im002388.png)
Le point A est d'abscisse
, donc l'ordonnée de
est :
.
2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction ![](/image/im000166.png)
![](/image/im000392.png)
![](/image/im003977.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003960.png)
Pour déterminer le sens de variation de
on détermine la fonction dérivée.
Pour tout
, on a :
avec :
;
et
;
Donc
On sait que pour tout
,
, donc le signe de
est le même
que celui de
et on en déduit le tableau de variation de
:
3. Montrer que la fonction ![](/image/im000063.png)
![](/image/im003978.png)
![](/image/im001112.png)
![](/image/im003979.png)
![](/image/im000189.png)
![](/image/im002392.png)
![](/image/im002394.png)
![](/image/im003980.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im002396.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im003981.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003982.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im003960.png)
![](/image/im003983.png)
![](/image/im000063.png)
Pour vérifier que
est une primitive de
, on dérive
:
avec :
;
et
;
Donc
Cela prouve que
est une primitive de
.
4.a. Calculer la valeur exacte de l'intégrale ![](/image/im000181.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im003984.png)
![](/image/im003985.png)
![](/image/im003986.png)
![](/image/im002392.png)
![](/image/im002394.png)
![](/image/im003987.png)
![](/image/im000181.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im003973.png)
On sait d'après le cours que :
b. Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2) de la partie A.
![](/image/im003988.png)
On a
avec
, donc le résultat est cohérent.
![](/image/im003989.png)
![](/image/im003990.png)